“认识五角星”教学案例与反思
——怎么让数学既好玩又有数学味
设计执教：杭州现代小学数学教育研究中心 唐彩斌
（原载《人民教育》2009年12期）
这是一个传统教材没有的内容。作为六年级的综合与实践活动内容，“五角星”走进了数学课堂。根据学生对五角星的了解以及小学数学学习的相关目标，笔者在教学实验的过程中为“五角星”拟定了如下教学目标：（1）通过观察五角星，提出相关的数学问题，并能利用已学的知识和技能解决问题；（2）经历观察、操作、推理的过程，了解五角星形、边、角、顶点的特点，并尝试应用已学知识求一个角的度数和五角星的面积与周长，增强应用数学的能力；（3）结合五角星的现实材料和数学作品，感受五角星的数学美，感悟五角星的文化价值。创建一个适合小学生学习的新内容，总是要上下兼顾左右权衡，创造总比演绎、模仿更有价值，但也更加艰难。笔者把原汁原味的教学实践流程与相关思考陈述如下，与大家分享，并求教大家。
教学案例
（一）引出五角星，提出数学问题。
（1）师：这是我们国家的国旗和国徽，在国旗和国徽上都有一个共同的图形，是什么图形？生：五角星。师：你们认识五角星吗？生：认识。
（2）师追问：那你们能不能说说什么样的图形是五角星？（学生虽说认识但表达比较难。）师：有些事物很熟悉，但当有人突然问是什么的时候会觉得困难，那我们就改改：说说五角星是怎样的？（学生尝试回答。）
（3）师：尽管你们很难说出五角星的特点，但是你们一定能判断下面哪个是标准的五角星？（说明：3号五角星在超级画板中是可以变化的，在变化的过程中让学生判断是否为标准的五角星。判断的过程实际上就是在感知寻找标准五角星的共同特点。）
（4）师：那么五角星到底有哪些特点呢？今天我们就一起来研究它。
（5）师：请同学们观察标准五角星（强调标准是为了限定研究的范围），结合我们所学的知识和研究其他平面图形的方法，能不能提出一些数学问题？
（学生提出的问题有：五角星是不是对称图形？五角星的角是多少度？怎么计算五角星的周长和面积？图中有多少个顶点和交点？中心点在哪里？五角星的五个点是不是在同一个圆上？如果把五个顶点连起来是一个什么图形？）
（7）师：刚才大家提出了关于五角星的很多问题，我们选择其中的一些按照一定顺序来尝试解决。
（二）独立思考，合作解决。
1．研究五角星的“形”。
（1）师：五角星是不是对称图形？有几条对称轴？（学生作出判断。）
（2）作业纸上有两个大小不同、角度不同的五角星，稍加变式，请学生画出五角星的对称轴。
（说明：这样的问题对学生来说还是简单的，尽管略有变式，但绝大部分学生还是能够判断出五角星是轴对称，有5条对称轴。）
2．研究五角星的“点”。
（1）师：五角星的点有什么特点？
生：对称轴的交点就是中心点。
生：五角星中每行4个点，一共有5行；一共10个点，而不是20个点。
生：我刚才画了一个圆，发现五角星5个顶点都在一个圆上。
（2）师追问：是不是所有的五角星都是这样的呢？生：应该是的。
（如上图，教师应用超级画板软件，拖动其中一点，五角星任意变大变小，但是无论哪个五角星，其五个顶点都在一圆上。这一环节虽然简单，却包含着学生猜想－验证的过程，尽管是不完全的归纳，但是在动态几何软件的支持下，变得很“任意”。提高了不完全归纳的“完全”程度。）
3．研究“角”。
师：我们再来研究五角星的角，主要研究5个顶角。五角星的一个角是多少度？
组织学生先用观察图形后“估一估”，大致集中在30度到50度之间；再用量角器“量一量”，集中在34度到38度之间。最后引导学生精确的推算。
教师启发学生做如下的推算：
方法1：∠2＋∠4＝∠6， ∠3＋∠5＝∠7，∠1+∠6＋∠7＝180°
那么∠1＋∠2＋∠3+∠4＋∠5＝180°;
所以五角星一个角的度数是180°÷5＝36°
上面右边这组图用来启发学生发现一个外角等于不相邻的两个内角和。学生所需要的推理基础是已学内容：三角形的内角和是180度，平角的度数是180度。
方法2：如方法1，根据三角形内角和180度，推算出正五边形的内角和是540度，正五边形有五个内角，所以一个内角是108度。又因为角1加角6和角7等于180度，角6加角1等于108度，这样可以推算出∠6＝72度，∠7＝72度，∠1＝180－72×2＝36度。
方法3：五角星所在五边形的内角和为180×3＝540°，540÷5÷3＝36°。
（此方法有部分依赖学生的直觉，缺少严格的证明，但有学生这样作出判断，也值得肯定。）
4．研究五角星的“周长和面积”。
（1）师：要计算五角星的周长和面积，需要度量哪几条线段的长度？生：只要量得一条边的长度，乘10便是五角星的周长。
（2）师：计算面积最少需要度量哪几条线段？为什么？
（学生尝试测量与计算。教师组织学生之间交流，引导学生发现度量出OA，以及OA边上的高，求得三角形OAF的面积，然后乘10就是五角星的面积。）
5．研究五角星的“黄金比”。
（1）师：五角星中有很多的线段，它们的长短看上去特别的舒服，这些线段之间有着怎样的关系呢？（试着先让学生说说自己的直觉）
（2）引导学生在五角星中找出具有几组具有黄金比的线段？学生按照提示找出对应的线段：IH:(
)=EI:( )
=EH:( )=0.618
（3）应用超级画板展示动态五角星，验证不同的五角星相应的线段都具有黄金比的性质。拖动五角星，相应线段的长度立即显示变化后的长度，但对应线段的比不变，都是0.618。
（3）视学习情况补充一个具有挑战性的问题：五角星中很多线段之间存在黄金比，其实五角星中的很多三角形也有“黄金”的特点：五角星中的5个三角形均为底角是72度，顶角是36度的等腰三角形，这样的三角形也叫“黄金三角形”，如果画出底角的角平分线，又会产生两个三角形，仍然是黄金三角形。可以通俗地认为：五角星中满是“黄金”。
（三）回顾整理，操作应用。
（1）师：学了今天的知识，你对五角星有了哪些进一步的了解？
生1：五角星有5条对称轴，一个角的度数是36度。
生2：还知道了只要测量其中一条线段就可以知道五角星周长，知道2条线段长度就可以计算出面积。
生3：五角星里有很多的黄金比。
生4：五角星的五个顶点在同一个圆上。
生5：五角星太奇妙了；
生6：没想到，五角星里有这么多数学知识。
（2）对于学习数学有哪些体会？
引导学生回忆研究五角星的过程以及是如何分门别类地逐项研究的。感悟学习的基本方法。
（四）数学欣赏，课外延伸。
（1）师：关于五角星的数学问题很有很多，例如著名的“奇妙的五点共圆”：给出一个五角星，每一个小三角形的外面都可以画一个圆，每相邻的两个圆交于两个点，其中之一是所得五边形的顶点，另五点在同一圆上。还有很多美妙多变的五角星：转动的五角星，美妙的五角星和五边形，还有奇妙的五角星风车。
（2）师：五角星如此奇妙，以至除了中国，世界上有50多个国家的国旗中都有五角星，如美国，澳大利亚，新加坡等。其实五角星的起源很早，现在发现最早的五角星图案是在幼发拉底河下游（现属伊拉克）发现的一块公元前3200年左右制成的泥板上。更有趣的是，古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。还有更多的关于五角星的美妙问题等待着我们去发现！
（3）实践作业：课后请同学们根据所学的知识制作一个五角星。在制作五角星的过程中，其实就是对五角星中数学知识的应用。
教学反思
在研发和执教《认识五角星》的前前后后，笔者曾数十次地问过专家，也不断地反问过自己：“这样的内容可以进小学生的课堂吗？”专家没有否认，自然更加坚定笔者探索这个课例的信心，并把此课作为冰山一角，洞察冰山背后的一大研究领域——实践与综合应用。《义务教育数学课程标准（实验稿）》都把实践与综合应用作为小学数学的四大领域之一，并指出，这是一类以问题为载体、师生共同参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。针对问题情境，学生综合所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学内容的理解。一般第一学段以实践活动为主，第二学段以综合应用为主。
（一）有数学味的材料才可作为数学综合实践的内容。
作为课程的“综合实践活动”与数学学科中的四大领域之一“综合与实践活动”有着不同的教学定位。“实践与综合应用”更关注数学的学科性。从大量成功的实践研究案例看来，笔者已经渐渐明晰“好的实践与综合应用”应该是立足现实生活背景针对数学内容而开展的活动，应该把数学知识和技能的应用、数学活动经验的积累以及数学思想的渗透作为活动组织的价值取向。要让学生觉得“好玩”，又要觉得“有味”。“数学好玩”，是
这节课是本人基于对综合与实践活动领域的思考进行探索的，可能并不是那种显而易见的理想的综合与实践活动素材。但是，当选择了’五角星“这个素材的时候，笔者就一直沿着“数学”的路线不断探寻五角星可以综合的数学元素。那么它到底综合了哪些方面的数学能力呢？（1）关注学生提问能力和解决问题的策略。看着一幅简单的图从数学的角度提出问题，而这些问题恰恰是教学所预设要解决的问题，当面对纷繁的问题时，如何分门别类地解决？学生从整体到局部，从点，到线，到图形的周长和面积，在解决问题的过程中学会解决问题。（2）借助五角星巩固已有技能，拓展思维。判断是否为轴对称图形，怎样画圆，怎样应用已有知识“三角形的内角和180度”来推算五角星的一个角的度数，怎样计算五角星的周长和面积，怎样估计出哪些线段之间存在黄金比……这些问题的解决都是数学基本知识和基本技能的应用，但在这节课上，这些知识和技能已经不再是孤立的存在，而是贯穿在一起。从另一个角度来说，这些技能也不是在原有水平上的重复，而是在综合应用中有了新的拓展，尤其是五角星的一个角的度数的推导，虽然有“估”和“量”的基础，但严谨的推导是对学生缜密的逻辑思维能力的重要挑战。（3）引领学生进行数学欣赏。提升学生欣赏数学美的能力，能萌发学习数学的兴趣，更重要的是能够激发学生继续探索更广阔数学世界的欲望。另外，相关的文化史料也富有教育意义，从中国国旗到世界各国的国旗，从3200年的一块石板到毕达哥拉斯学派的标志，还有名字“健康”，都充满着人文气息。
与我们所熟悉的那些类似于“超市购物”“植物园或者动物园中的数学问题”相比，类似“五角星”这样的素材是更具有挑战性的，因为它不在停留在情节性变换下数学知识和技能的巩固，数学模型也不再是现成的，而是需要学生自己经历提出问题、解决问题的过程，积累根据实际情景自主建模的经验，而这种经验的积累和思想的渗透，是数学教学的本质追求。
（二）用数学的眼光来发掘教学资源。
五角星，一个非常熟悉的图形，在现实生活中熟悉得有些普通。但当它出现在数学的课堂时，当我们以数学的眼光来看待它时，却发现，原来它可以不断激活学生已有的数学经验，并拓展他们的思维。
实事求是地说，开始笔者也觉得五角星是个比较简单的图形，随便看看说说画画，就可以上成一节课。后来在备课的过程中，不断找资料，却越来越发现原来五角星奇妙无比，深不可测。
例如，关于五角星的点，除了植树的问题外还有古题：十人抬五杠，每杠用四人，一人抬两，如何抬法？可以应用五角星点的排列原理，由此可以推广到：nc人抬n杠，每杆用
五角星，用日常的眼光看来“简单得不能再简单了”，但是从数学的眼光看来，“美妙得不能再美妙了”。
像五角星这样的素材一定还有很多，我们需要用数学的眼光把它们遴选到小学数学的学习内容中来，不受传统经验的束缚，让小学数学“可以有”的内容丰富起来，先丰富再严谨，与时俱进地构建小学数学学习内容新体系，让小学数学的学习真正“好玩”起来。
编后
的确，我们很难想象得到，一个五角星里面，居然蕴藏着这么多的奥妙，从数学教学的角度来看，居然包含着这么多的宝贵资源！仅从这一点，或许就能启发大家如何用数学的眼光，去发现更多更好的教学素材。
换个角度看，这个案例却能带给我们更多的深思。“实践与综合应用”是个比较新的领域，对于实践，大家已不再陌生，可是对于“综合应用”，尤其是“综合”的内涵，却有着不同的理解。焦点可能还是在于，我们要追求的是拼盘式的综合，还是有机整体式的综合？这个有机整体，是指内容的前后关联度，还是说有一个客观的载体（比如五角星）就可以了？淡淡的泛泛的应用，还是深入数学本质的学习活动。
曾经听过一节初中数学课，讲的是圆与圆的位置关系。前面的环节都很平常，先让学生形象描述5种位置关系，再探索用数量关系来刻画这五种关系，之后，老师出了几道习题来检测，离开了形象的图形之后来做这些题目，多少有些空落落的感觉，学生的思维开始磕磕巴巴走不动。不料，老师忽然画起了数轴，再一次把5种位置关系形象地标示在了数轴上。学生顿时豁然开朗。
课堂结束时，一个学生说道：“原来数学也像生物链一样，是一环扣一环的，与以前学习的点与圆的关系、线与圆的关系等一样，是一以贯之的。”
这节课不是“实践与综合应用”的课，可是我以为，这个学生悟到的“一以贯之”思想，正是我们的数学课要给予孩子的最重要的一样东西。
回过头来看，“五角星”一课，虽然基本上是几何推理的内容，但内容跨度也不小。不过，它选择的是小问题串的形式，每个问题内部环环相扣，每个问题之间相对独立。它的好处是，变换快，涉及知识点比较多，课堂内容丰富，也比较适合小学生注意力短的特点。案例同样也引发我们反思：是否还有更好的综合形式？是否还有更好的资源利用办法？实践与综合应用的理想形态是什么样的？我们希望借此展开讨论。
（责任编辑 余慧娟）