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中学物理与数学密切联系的教学示例
示例一：动力学问题的几何解法
用几何方法处理质点力学问题的基本思路是：把物体（质点）所受诸力矢量按几何加法依次首尾相接，根据力的多边形法则求出合力矢量，根据牛顿第二定律，此合力矢量必等于物体质量m与其瞬时加速度a的乘积，这就构成了一个封闭多边形，由此多边形中的几何关系可求出各未知量。这种几何方法与常见的分析方法（代数方法）相比更直观、简洁，并能生动地反映出各物理量的变化情况。熟练应用更可以加深对有关概念、规律的理解，并为学好大学相应课程打下更扎实的基础。
例题一：质量为的小球，置于带有光滑直角槽AOB的小车上，斜面OA与水平成α角。当小车以加速度a水平方向向右直线运动时，试分析小球的运动情况及对OA、OB斜面的压力。（如图1-1）
 
 
解一：用正交分解法（代数法）
由图1-2，按水平和竖直方向分解得：
（1.1）
 （1.2）
解得：
解二：用几何法
仍以小球为研究对象，受力分析同前为图1-2，根据牛顿第二定律
 （1.5）
按几何加法的多边形法则，上式可构成封闭多边形如图1-3，由图1-3中几何关系，容易得到：
应注意，满足牛顿第二定律矢量方程（1-5）的封闭多边形不是唯一的，有无限多个，如图1-4。从图1-4可看出，因重力mg是常量，而 、 、 均变化。随着加速度增大，增大，而减小。各量间变化如式（1.3）、（1.4）所示。进一步分析，
当ａ增大到 ， (1.6)
这时， =mg/cosα (1.7)
如果a继续增大，即a>a0=gtanα时，会发生什么情况？由于方向不变，小车加速度a在水平方向，画不出
对应的矢量多边形
。mg、是小球受的力，说明小球与小车加速度不同了。
即小球这时沿斜面OA有运动。设小球对小车的加速度为 ，方向沿斜面OA向上，小球对地的加速度为 ，据相对运动关系，有：
 （1.8）
式中a——小球对地的加速度。此时，小球运动的牛顿第二定律表达式应为：
 （1.9）
与式（1.9）对应的封闭多边形如图1-5所示。
由图中可得: 
由图1-5还可以进一步得到：
因此，这道题的完整答案和分析应是以下三种情况：
1)当a<a0=gtanα时，小球与小车一起以a
作加速直线运动
2）当a=a0=gtg 时，小球对小车处于即将有相对运动的临界状态。
3）当a>a0=gtg 时，小球对小车斜面OA有向上的运动，相对加速度
为.
小球对地的加速度am与水平成角θ，
 (1-12)
分析与总结：比较以上两种解法：分析法得到的答案是正确的，但不完备，那只是小车加速度a较小情况下的结果；而几何法则可得到更完整的答案，更多的信息。（三种情况）更重要的是几何法直观简洁，有生动的物理图景，一目了然的看到个物理图景的动态变化关系，而且富于启发性。单纯用分析法一般只得到另一种情况（当a<a0=gtanα）的答案，而几何法则自然而然的促使你去思考第二种情况（当a=a0=gtanα）和第三种情况（当a>a0=gtanα），这种启发性有利于培养学生的创造性思维能力，有利于调动学生学习物理的兴趣，加强学生对数学与物力密切联系的认识，以及运用数学解出物理问题的意识和能力。
几何法不仅可用于单个质点的问题，也可用于两个质点组成的质点组问题。
例题二：倾角为α，质量为M的光滑直角劈置于光滑水平面上，一质量为m的小物块由静止沿斜劈的光滑斜面滑下，如图1-6
试求出：1)小物块对地的加速度，直角劈对地的加速度；
2)小物块相对直角劈的加速度；
3)小物块与直角劈间的作用力，直角劈与水平面间的作用力。
解：这是一道从中学物理到普通物理知道理论力学、分析力学中都经常出现的典型力学题，其解法有多种。用几何解法有明显的优势和特点，特别是在中学物理及数学范围内，对训练学生思维能力，深刻理解有关力学概念有重要价值。
分别取小物块和直角劈为研究对象，各自受力如图1-7
(a) ,(b)，所示；分别对他们用牛顿第二定律，有：
 
又根据相对运动关系及牛顿第三定律，有：
 
分别画出与矢量式（1-13），（1-14），（1-15）对应的封闭多边形，图1-8
(a) ,(b)，
式 （1-16）的 把图1-8的a) ,b)，两个封闭多边形联系起来。实际上图1-8 的a),中的虚线长度等于Nsinα；图1-8
的b)，中的Man=N’sinα，因此图1-8 a)中的段虚线也为Man；
由图1-8的a)可看出：
解出：
进一步可求出N,  ；
练习题：1）例题1中，若小车加速度水平向右，请对各方向求解和分析；
2）例题2中，若题图改成图1-9所示，再求方向。
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