中学物理与数学密切联系的教学示例

      示例二 抛体运动的几何解法

　　 如果一运动物体所受合力为恒力，且合力方向与物体初速度方向成一定夹角（除 之外），则物体运动轨迹是抛物线，这是运动称为抛体运动，通常用正交分解法（代数法）处理。利用运动方程（重力场中，忽略空气阻力）

可求出表示体运动的特征及进行有关运算。

运动轨道

             　　                 （２.３）

飞行时间

              　　　　                     （２.４）

射程

              　　　　                   　（２.５）

射高

              　                　　 　　 （２.６）

    这种解法优点在于与代数知识结合较亲密。缺点是物理意义不明显，解题的数学运算较繁琐。而用几何法处理主要利用矢量合成的三角形法则，整个解题过程主要是解一个或几个三角形，多数情况下，求解过程简单，物理意义明确，能更好地培养利用数学解决物理问题的能力。现结合重力场中，抛体运动主要问题叙述如下：

    抛体运动是 方向的匀速直线运动和 方向的初速度为零的匀变速直线运动的合运动。根据矢量合成的三角形法则其位移和速度的矢量方程为

                                       （２.７）

                                           （２.８）　

对应的矢量合成图如图 2-1 及图 2-2 所示

b)运动轨迹

    设物体运动的初速度为 ，加速度为 ，物体的初始位置为 O，在 方向取 A ， B ， C ……诸点，并使 ……，过 A ， B ， C ……在 方向取点 ……，并使 ……，连接 O，……诸点的光滑曲线（图 2-3 ），即为质点运动轨迹。

由于 ， 均为常量，因此用几何法决定质点在 1 ， 2 ， 3 ，……秒末的位置 …… 便十分简单。比先用代数法求出系数方程，再用描点法作轨迹图为方便，物理意义更清楚、直观。

c)射程、射高、飞行时间

    地球表面附近、抛射角为 的物体，忽视空气阻力时，运动轨迹为抛物线如图 2-4 ，我们定义

射程 S ——从地面的抛出点到落地点间的水平距离；

飞行时间 T ——从抛出点到落地点所用总时间

射高 H ——地面到轨迹最高点的距离

由图 2-4 ，在直角三角形 中

           则                  

而 则                   

，则           

d）计算举例

例1. 在倾角为 的斜坡上的 O 点沿与水平成倾角 方向向坡顶抛出一石块，石块落在坡上 A 点，如图 2-5 ，已知 。

求：石块抛出的初速度及上述方程所经历的时间。

解：据 ，对应的矢量合成图的图 2-5 所示 , 在 中 , 据正弦定理：

由上式解法：

建议大家再用代数法求解该题，并对两种解法加一比较。

例２，一物体以初速度 沿水平向上或 角抛出，问经过多长时间，物体的速度与初速度垂直？此时速度大小是多少？此时物体到抛出点的举距离多大？

（设 ）

解：据

对应的矢量合成图为图２－６（ a ）

由 可看出：

       而　

又　 对应的矢量合成图　为图２－６（ b ）

在 中，据余弦定理，

请用代数法求解此题，并与几何体比较。

练习题

斜向上抛出一球，抛出时初速度与水平向上成 角，１秒后仍上升，但飞行方向已与水平成 角，求

1)球上升到最高点所用的时间。

2)球在最高点是的速度。

（２.３７ s, 13.4m ）