二、数学与物理学发展的历史渊源

　　物理学与数学关系密切，源远流长，在整个物理学和数学的历史中，它们之间的相互影响促进了许多发现和发明，数学提供了用来表达物理学的语言，而物理观测中有条理的认识有推动了表达这些认识的数学的发展。历史上许多著名的科学家，或者本身数学造诣甚高，或者对数学和物理学都作出了重要贡献。许多知名的数学家，也大多精通物理，数学家与物理学家、力学、天文学等科学家的完美结合，共同登上了一个又一个高峰。

　　让我们从三次科学革命历史中领略数学与物理学的渊源。

　　（一）第一次科学革命时期的数学与物理学

　　打开近代自然科学大门的科学家是波兰天文学家哥白尼。哥白尼18岁进入波兰克拉克夫大学学习天文，这所大学以天文学和数学著名于当时的欧洲。他在大学对天文学和数学有深入的研究。1946年，他留学文艺复兴的中心意大利，最初也以大小与顺序以托勒密地心体系为基础来修订天文学。但哥白尼对托勒密地心说产生了怀疑，开始考虑地球的运动。于是，他从地球运动的假定出发，经过长期的、反复的观测，终于发现：“如果其他行星的运动同地球运动联系起来考虑，并按每一行星的轨道比例来做计算，那么，不仅会得出各种观测现象，而且一切星体轨道和天球大小与顺序以及天穹本身，以至不能变动任何一部分而不在众星和宇宙中引起混乱。”
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　　1503年，哥白尼从意大利回到波兰当牧师。为了验证他的新假定，他在教会的角楼上布置了一个简单的天文台，用自制的各种天文仪器，对月蚀、日食、日掩食、行星及其背景的位置变化作了长期的观测。并对观测的资料进行分析、整理，作了大量的数学计算，就这样，哥白尼在教会统治的黑暗中孜孜不倦的寻求光明。他三十年如一日，送走了无数个满天星斗的黑夜，迎来了多少黎明的曙光。他头发熬白了，眼睛也昏花了，但他辛勤的劳动换来了丰硕的劳动成果。他推算了太阳、月亮和五大行星的运行情况，重新测算了许多重要的天文数据。他观测后计算得出的数值的精确程度是相当惊人的。例如，他观测得出的恒星年的长度，也就是地球饶太阳公转一周所经历的时间是365天6小时9分40秒，比现代观测的精确值多30秒左右，误差百万分之一。他求出月亮到地球的平均距离是地球的60.3倍，现代观测的精确值是60.27 倍，误差只有万分之五。他计算得出行星到太阳和地球的距离的比值，误差不到千分之六，误差稍大的土星也不到百分之四。哥白尼所用的观测仪器都是自制的，十分简陋，再加上他观测天象的地理位置也不太好，纬度高、行星位置低，又近海边，雾气大，星象模糊，观测很困难。他是做了长期艰苦细致的观测，运用了高深的数学知识才得到这样精确得数据 ，使他的“日心地动说”建立在实践基础之上。通过这样细致的观测和精确得计算，哥白尼明确指出：地球不是宇宙的中心，它和别的行星一样，是一颗一面自转一面公转的普通行星。这个结论，显然与神权的理论基础“地心说”背道而驰。1543年，哥白尼出版了在科学史上具有历史意义的六卷巨著《天体运动论》，引起了人们在宇宙论上的重大变革。恩格斯对“天体运动论”给予高度评价，称它为自然科学的“独立宣言”。
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　　第一次科学革命以哥白尼的天文学革命开始，以伽利略、牛顿为代表的经典力学体系的建立为标志。经典力学是物理学史上第一次大综合，它不仅带动了当时和以后自然科学的发展，而且还促使近代机械自然观的产生。而这个大综合，首先是物理和数学的综合。牛顿，这个历史上最伟大的科学家之一，当时既是英国的物理学家，又是数学家、天文学家。在数学方面，他首先提出了“流数法”（即今微分学），并和莱布尼兹同时创立了微积分学，开创了数学上的一个新纪元。1687年出版了科学名著《自然哲学的数学原理》，用数学解释了哥白尼学说和天体运动的现象，阐明了运动三定律和万有引力定律等。继牛顿之后，集物理学家数学家天文学家于一身，其丰硕成果在科学史上产生重大影响的科学家是瑞士的欧拉（L.Euler 1707--1783 ）。欧拉在1733年被选为彼得堡科学院院士。在力学方面欧拉是理论流体力学的创始人；在光学方面，他研究光通过各种介质的现象和分色效应，提出了复杂的物镜原理，解决了像的最大亮度等计算问题；在数学方面，他是变分法的奠基人和复变函数的先驱者；在天文学方面也发表了许多论文。

　　欧拉之后，另一个在科学史上产生重大影响的科学家是法国的高斯（Gauss 1777--1855）。在物理学方面，高斯奠定了在平衡状态下液体理论的基础，他与法国物理学家韦泊一道建立了电磁学的高斯单位制。他发明了电磁铁电报机，研究了地磁场强度，并绘制出了地球磁场图。他在数学和天文学方面也有很大贡献。为纪念他的功绩，高斯单位制中磁感应强度单位就以他的姓氏命名。
正是由于物理学发展的先导作用，17世纪至19世纪中叶，物理引导数学前进，那时的数学还并不十分严谨，人们用数学结论在物理上的正确性来保证它在数学上似的正确性并时常提供一些物理意义上的论据以补数学论证之不足。除牛顿、欧拉、高斯外，在数学史上占有重要地位的伯努里、达朗贝尔、拉普拉斯、拉格朗日、傅立叶同时都在物理学天文学方面作出过重大贡献。继微分之后，微分方程、变分法、微分几何等数学分支也得到了蓬勃发展。18世纪出现的偏微分方程的研究，就是和物理问题融合在一起的。由于物理问题的需要，二阶偏微分方程先于一阶偏微分方程受到注意。

　　（二）第二次科学革命时期的数学与物理

　　18世纪下半叶到19世纪初，在第一次科学革命的基础上发生了第一次技术革命，它是以纺织机、蒸汽机的发明和应用开始的，蒸汽机的广泛应用，改变了整个工业的面貌。反之，生产技术的变革又推动了近代科学的发展，引发了19世纪中叶的第二次工业革命。这次工业革命以物理、化学、生物学为代表，其规模远元朝过第一次。近代物理学、数学、化学、生物学等等都是在这个世纪发展起来的。19世纪在物理学领域中出现了两个统一理论，一个是能量守恒与转化定律，另一个是统一的电磁场理论，这是继伽利略、牛顿的经典力学之后的自然科学史上第二次理论大综合。统一的电磁场理论又是物理与数学完美结合的一个硕果。
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　　在电磁现象的研究中，英国物理学家和化学家法拉第是带路人。1831年，他通过多次实验，发现了电磁感应现象，并确立了电磁感应定律。1837年他引入电场和磁场的概念，反对“超距”作用并发现磁致旋光效应（法拉第效应）。1852年他又引入了电力线和磁力线概念。他在磁学上的贡献，得到了全世界的尊敬。

　　把法拉第场的概念引向深化的是英国的物理学家和数学家麦克斯维。如果说法拉第在发现电磁现象的实验中是一个杰出的能工巧匠，那么，麦克斯维则根据法拉第所结示出来的自然界的事实，给他配上了严密的理论框架。
在法拉第看来，电场和磁场都是物质，都是实际存在的、真实的、能感觉到的某种东西。法拉第摆脱了从牛顿以来超距作用的概念，但是，法拉第不是一个数学家，而麦克斯韦，有相当好的数学基础。

　　麦克斯韦的功绩归根到底在于他利用19世纪20年代和30年代数学家在理论力学方面的研究成果,从数学上详细研究了法拉第的关于磁和电的思想，把法拉第的力线模型转换成数学形式，使它更加准确和扩大，使之成为臻于完善的电动力学理论。1864年，麦克斯韦发表了《电磁场动力论》一文，在这篇文章中，他统一了电磁场，建立了电磁场的基本方程式，从理论上推断出电磁波的存在。

　　1871年，麦克斯韦又断定光波、热波都是电磁波的一种，本质上是一样的。就这样，麦克斯韦从法拉第的力线概念出发，经过坚持不懈的研究，得到一套完美的物理方程。这一理论概括了当时已发现的所有电磁现象和光现象的规律，从而奠定了电磁学的理论基础，使经典物理学里原来是分科别类的电学、磁学、光学，在麦克斯韦的统一电磁场理论下，构成了一座的，宏伟的大厦。著名的物理学家玻尔兹曼在谈到麦克斯韦方程时，重复浮士德的话说：“这种符号难道不是出自上帝之手吗？” 麦克斯韦电磁方程的创立，可以看盛典是从牛顿的引力场到爱因斯坦相对论这段时间里物理学史上最重要的理论成就，也是19世纪后半叶自然科学出现的两大高峰之一（另一座高峰是达尔文的进化论）。

　　（三）第三次科学革命以来的数学与物理学

　　19世纪末，由于X-射线（1895），放射线（1896），电子（1897）以及镭（1898）的发现，对经典物理理论产生了极大的冲击，促使物理学学发生了一次从20世纪开始，当时的一些大数学家如庞加莱、克来因、希尔伯特等，尽管学术倾向不尽相同，但都精通物理。爱因斯坦在创立狭义相对论与广义相对论的过程中就得到了数学家的有力支持。
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　　狭义相对论的核心是空间和时间的统一性。本来作为一切基本形式的空间和时间之间的对立统一关系，不少哲学家曾作过深刻的分析，但是在科学上通过给出定量的数学表达式精确地揭示了空间和时间的统一性，以及空间的时间同物质运动的联系的则是爱因斯坦。爱因斯坦的新时空观通过他大学时代的教师、德国著名数学家闵可夫斯基的工作得到了重大的发展。1907年，闵可夫斯基用自已精通的几何学知识给爱因斯坦理论一个美妙的表达形式。他在通常的空间三个坐标（x,y,z）之外，引进了第四个坐标，这上一个以虚数来表示，以光速乘时间的乘积为尺度的坐标，这样，就可以直接用数学上原来不过是一种抽象概念的四维空间中的几何图形来表示一个物理事件[用(x,y,z,t)的函数来表示].在牛顿力学中时间是绝对的，它同代表空间的三个坐标之间毫无关系。在相对论中时间失去了独立性，它取决于空间位置和运动状态，时间坐标和空间坐标就不可分割地结合在一起。在闵可夫斯基空间中，空间距离和时间间隔各自不变性不再存在了，但两者的结合体仍然是不变的。

　　相对论不但引起了时空观的革命，在20世纪的人类生活中产姓了深远的影响。其中最突出的是关于物质质量的能量相对性的推论，它成为不久后发展起来的原子核物理现象和粒子物理学的理论基础。并且在理论上预示着原子能时代的必然到来。

　　在相对论论文发表后两年（1907年），在探索加速运动的相对性性过程中，爱因斯坦抓住了一个伽利略早已发现的极其简单的古老实验事实：在引力场中，一切物体（不论由何种质料组成，也不管质量大小）都具有同一加速度，也就是贯性质量的引力质量相等。这一事实，几百年来，一直没有引丐物理学家的注意，一直把它当作一个当然的基本事实，可是，爱因斯坦偏偏透过这一最基本事实，提出了一个称之为等效原理的假说：“引力场同参照系的相当的加速度在物理上完全等价。”发现等效原理，爱因斯坦认为这是他“一生最愉快的思想”。通过等效原理，爱因斯坦发现，关于引力有本质这个历史上几没有人认真思索过的问题，只能希望从推广相对性原理而得来合理的理论解决。但是，要建立引力场理论，爱因斯坦当时所掌握的数学工具是不够的，这使他在以后几年的探索中没有取得重大进展。1912年，他在苏黎工业大学数学教授、他以前的同班同学格罗斯曼的帮助下，找到了一种适用的数学工具，这就是半个多世纪前由德国数学家高斯和黎曼建立起来的曲面几何，以及随后由意大利数学家里奇和他的学生勒维发展起来的绝对微分学（也称张量分析，是一种用于曲面的微分运算）。经过三年艰苦的努力，直到1915年11月25日爱因斯坦才最后建成广义相对论，提出了对于任何坐标变换都是协变（即广义协变）的引力方程。1916年初，他写了一篇完整的总结性论文《广义相对论基础》。由于黎曼几何和张量分析成了爱因斯坦创立广义相对论的理想工具，反过来又激发人们对这两面门数学科学的兴趣，从而极大推动了微分几何的发展。

　　广义相对论实质是一种引力理论，它把几何学同物理学统一起来，用空间结构的几何性质来表达引力场，使19世纪20年代分别由俄国数学家罗巴契夫斯基和匈牙利数学家玻耶独立建立起来的非欧几何获得了实际的物理意义。爱因斯坦的广义相对论不断为以后的物理学家的实验所证实。一些国知名的科学家，如英国皇家学会会长J.J汤姆逊，物理学家逖拉克等，称赞爱因斯坦的理论是“人类思想史中最伟大的成就之一”，爱因斯坦的引力理论“大概是已经做出的最伟大的科学发现”。

　　当代杨振宁等的规范场和陈省身等的纤维丛理论推动了现代数学和物理学的新结合。
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　　20世纪前半段，数学与物理学有分道扬镳的趋势，双方之间的信息交流有所梗阻，虽还有不少有名的数学家如赫曼、外耳、冯.诺伊曼、柯尔莫果洛夫等还对理论物理甚至具体的物理问题感兴趣而做出贡献。但总的来说，抽象数学之风日益鼎盛，到本世纪中叶法国布尔巴基数学学派的问世而登峰造极。果然，数学家埋头致力于自身学科的建设，本来是无可非议的事，但是，在两门学科之间存在一条难以逾越的鸿沟，却是对于双方极为不利的。物理学家往往希望多懂一些数学，苦于不得其门而入；而数学家则过于关注论证的严密性，对丰富多采的物理世界视而不见，也难以理解。但是毕竟物理学与数学之间存在有深刻的内在联系，这种相互隔阂的情况不可能长期的持续下去。

　　转机果然出现了，一方面来自理论物理学的新发展。50年代初，杨振宁等人复活了赫曼、外耳早就提出的规范场论，并赋予了新的物理内容，引起了物理学界的广泛重视。他们惊奇的发现，在微分几何中，像纤维丛这一类相当抽象的概念也具有具体的物理内容。鉴于规范场这个粒子物理中重要的理论和纤维丛这个重要的微分几何理论在本质上的惊人的共性，杨-米尔斯理论的奠基人杨振宁博士曾对纤维丛理论的奠基人、当代大数学家陈省身说：“规范场的方程是物理学者从19世纪的电磁学方程推广来的；惊人的地方是这些方程式后来发现和数学家的纤维丛观念有密切关系，……至于为什么自然界的各种力都要建立在几何学的纤维观念上始终是不解之迷。” 陈省身则引用著名物理学家威格纳的话：“数学在物理中用超乎常理的有效性来表达自己的惊奇。”陈省身认为，数学中纤维丛理论之所以能够超前描述物理之中的规范场，而使这种抽象理论与实际惊人结合的理由在于“科学本身的整体性”。

　　20世纪后半叶，正是由于物理学家和数学家的共同努力，物理学上孤子理论、混沌理论等得以建立和发展，而与之相应的数学，不仅仅是应用数学，作为应用数学的基础的“纯数学”也得到了飞速发展，它的发展趋势的显著特点之一就是从线性到非线性，混沌、分形、动力系统等研究迅速发展。物理学和数学的共同成果已渗透到其它的科学领域。现在，孤子、混沌和分形已经构成了现代非线性科学中具有共性的基本概念，往往可以在不同的学科领域中找到它们的踪迹，显示了物理学与数学相互作用的重新意义和“科学本身的整体性”。