三、物理学的模型方法和数学建模

　　（一）物理学的建模方法

　　众所周知，物理学所分析、研究的问题往往很复杂，有众多的因素。为了便于分析和研究，往往采用一种“简化”的方法，对实际问题进行科学抽象化处理，突出主要因素，暂时略去次要因素，得出一种能反映原型本质特性的理想物质（过程）或理想结构，这种理想物质（过程）或理想结构就称之为物理模型。因此，物理模型是人们通过科学思维对物理世界中原型的抽象描述；是按照物理科学研究的特定目的，用物质形式和这个思维形式对原型客观本质关系的再现。通过的物理模型的认识和研究，获取关于原型客体的知识及其在自然界中的应用变化规律，这种方法，可称为“模型”方法。它是物理科学研究中常用的，而且是十分成功的方法。
　　“模型”的思想和方法也贯穿于现行的中学物理教学之中。中学物理教材中无论哪一部分的内容都是以物理模型为基础向学生传达物理知识的。展现在中学生面前的就有质点模型、匀速直线运动模型、点电荷模型、理想气体模型、原子模型等等。物理模型是中学物理知识的载体。分析和讲解模型，是教师向学生传授物理知识常用的一种基本方法，从具体事物中抽象出其本质特征，建立物理模型是中学生思维能力的培养和考核的目标之一。因此，抓住物理模型这个关键，重视抽象、建模等科学方法的运用，对提高中学物理教学质量至关重要。
　　物理学的模型方法也就是抓住主要矛盾的方法，通过建立物理模型，弄清事物的主要矛盾以后，再考虑次要矛盾，如此一级级的近似就可以一步步逼近客观实际，而在每一步上，都可以用数学方法尽可能精确地加以研究，包括定量的计算并作出某些理论上的预测，所以模型方法是物理学为什么能够成功和最大量的运用数学的根本原因。
　　在此，我们来回顾一下科学家们使用“模型”方法逐步深入的认识原子结构的一个历史片断。
　[案例13] 　　　　　　　　　　　返回　
　　 1911年，伟大的科学家、1908年诺贝尔化学奖获得者卢瑟福，在他和他的学生盖革等所作的大量实验基础上，抓住了与原子结构直接有关的信息，经过严谨的理论推导，抓住了原子的“有核模型”。这一模型推翻了最初由发现与电子的英国物理学家J.J.汤姆逊等提出的一种“葡萄干模型”，并且以无数次反复实验，以严格、确实的实验结果肯定了由卢瑟福发现并提出的散射理论和有核模型的正确性。原子的有核模型取得了成功，但它存在局限性，他不能解释原子的稳定性和同一性。
　　对卢瑟福的原子有核模型作根本性修正的是卢瑟福的学生、丹麦物理学家N.波尔。波尔在他老师卢瑟福的影响、帮助和鼓励下，在普朗克和爱因斯坦的量子化概念以及巴尔末和理德伯有关氢原子光谱的实验公式的启发下，经过两年坚持不懈的努力，终于在1913年，将量子化概念用到了卢瑟福的原子模型中，并且将原子结构与光谱联系起来，提出了波尔模型。模型的关键是如下的三个基本假定：1.定态条件假设。2.频率条件假定。3.角动量量子化假定。这三个基本假定下，波尔得出了定态能量En，与En相应的分立轨道半径rn及角动量Ln的数学表达式。波尔理论很好地说明了原子的稳定性和同一性。
　　波尔第一个将普朗克和爱因斯坦的量子化概念用到了卢瑟福的原子有核模型中，成功地给出了氢原子结构的理论描述，揭开了30年来令人费解的氢光谱之谜，使原子结构的量子论研究取得了突破性的进展，对量子论和原子物理的发展作出了重要贡献，1925年他荣获诺贝尔物理学奖。
　　波尔模型成功的同时，也存在一些难以克服的矛盾。这主要是波尔仍把电子看作经典力学中的粒子，仍是在静电作用下绕核作圆周轨道运动。但又硬性规定没有电磁辐射产生，这显然是相互矛盾的。面对这些困难，法国物理学博士德布洛意在他1924年11月的博士论文中打破了传统观念，把光的波粒二重性推广到的所有的物质粒子，提出了物质波的基本假设，即“任何物体伴随着波，而且不可能将物体的运动和波的传播分开”。并根据狭义相对论导出了粒子的动量与伴随波的波长之间的关系，即著名的德布洛意关系式：
　　　λ=h/p　　　　　　　　　　　　　（2.2）
　　德布洛意的物质波假设是一个革命的假设，对量子物理的发展极端重要，它是量子物理朝量子力学的诞生又迈开了革命性的一步。1929年，他荣获诺贝尔物理学奖。量子力学理论诞生，使波尔模型的内在矛盾自然消失。
　　结合上面关于原子结构研究过程的一个片断的简要回顾，基本上可以看出，应用物理学的模型方法分析，研究复杂的物理问题，一是要根据研究的目的，对展示在人们面前的问题的信息进行分析、总结、归纳和提炼工作，找出主要矛盾，把问题的原型抽象简化成为一个物理模型。二是通过抽象和简化，使教学方法将问题表现为恰当的数学关系，使用数学语言对实际问题作一个近似地刻画，便于更深刻的认识所研究对象。三是要接受实践的检验。因为建立物理模型的目的是要用以研究和解决原型的实际问题，而模型是经过抽象和简化得到的，即使在这个模型的组建过程中逻辑推导准确无误，也并不意味着模型是成功的，它必须接受实践的检验，经检验被认为是可以接受的模型才能付诸使用。四是任何一种模型都只能反映客观事物的一个侧面，适用范围有其局限性，当事物的次要矛盾上升为主要矛盾时，就必须作进一步的研究。
　　（二）物理问题的数学建模
　　许多物理模型都可以表现为数学模型的形式。所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学的语言和方法对实际现象的一个近似地刻画，如大家非常熟悉的牛顿第二定律用公式 来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型，又如描述处于平衡态的理想气体的速率分布律：

　　　　 　　　　　　　　　　(2.3)

就是麦克斯韦与1985年在气体分子模型的基础上，加上符合统计规律性的假设推导出来的，该分布律后来得到实验证明和广泛应用。

　　数学物理方程以至于广义相对论、规范场等都是非常成功的数学模型。由对物理学的实际问题抽象简化为物理模型，再由物理模型转化为数学模型的过程就是物理学的数学建模。

　尽管实际问题的内容和复杂程度千差万别，但是，在组建数学模型时，有一点是共同的，就是他们都针对一个实际问题，通过辨识问题中变量之间的关系而把实际问题转化为由数学语言描述的形式，因此有一个共同的程序化的过程，这个过程一般包含若干个有着明显区别的处理阶段可以用如下的流程图（图2.1）来表示：

　这个流程图可作为我们思考问题的框架，流程图中的每一个方框表示建模过程的一个阶段，下面对每一个阶段作简要的说明。
　　1.对面临的实际问题，首先要明确研究的对象和研究的目的，问题所依据的事实和数据资料的来源是什么，是它的是否真实，与问题有关的背景知识有哪些，确定待建模型的类型——确定性的随机性的或者其他？
　　2．辨别并列出与问题有关的因素，通过假设把所研究的问题进行简化，明确模型中需要考虑的因素以及他们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素。通常在建模之初就把问题尽量简化，在最简单的情形下组建模型以降低建模工作的难度，然后通过不断地调整假设使模型尽可能接近实际。
　　3．根据与实际问题有关的背景知识，运用数学语言和方法来描述问题中的变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述，从而得到所研究问题的数学模型。
　　4．运行观测数据或实际问题的有关的背景知识对模型中的参数给出估计值。
　　5．运行所得到的模型，解释模型的结果或把模型的运行结果与实际观测进行比较。如果模型结果的解释与实际状况相符合或结果与实际观测基本一致，表明模型经验检验是符合实际问题的，可以将它用于实际问题进行进一步的分析讨论；如果模型的结果很难与实际相符合或与实际观测不一致，表明这个模型与所研究的实际问题是不符合的，不能将它应用于所研究的实际问题。这时，如果数学模型的组建过程没有问题的话，就需要返回到建模前关于原型的抽象、简化中，检查我们关于问题所作的假设是否恰当，是否忽略了不应该忽略的因素或者保留着不应该保留的因素，对假设给出必要的修正，重复前面的建模过程，直到组建出经检验符合实际问题的模型为止。
举一个例子：
　[案例14]天空中彩虹的数学模型　　　　　　　返回
　　 问题的背景与提出
　　雨后的天空，当雨滴还飘散在空气中时，来自远距离的太阳光线投射在雨滴上，产生一系列的彩色圆弧。此时天空中的景色异常美丽，这就是人们通常所讲的虹现象，称之为彩虹。好奇的人们不禁要问，虹为什么是一圆弧？是什么决定了它在天空中的高度？为什么有颜色？并且颜色又有着特殊的排列顺序？为什么有时在第一道彩红之上还会有第二到彩虹等问题。
　　起初，人们关于虹现象的解释是通过神话理解的。据说希腊女神Iris曾把虹作为警告和希望的征兆。在非洲的神话中，虹被认为是暴雨过后出来掠物的巨蛇，因此，早年的彩虹让人充满了希望和恐惧。
　　逐渐地，大家开始认识到光的反射现象和折射现象后与虹现象有关。在14世纪，Persian等人分别独立地得到一个公识，即雨滴是解决这个问题的关键。他们希望从球形的雨滴对光的反射和折射来给出有关虹的正确的数量解释，虹现象困扰了大家很长时间，也引起近几个世纪以来的许多学者的兴趣，其中包刮开普勒、笛卡儿、费马和牛顿等人，直到今天，物理学家仍在继续完善这一理论，解释虹现象和解释光的本质是如此紧密相关，迄今为止，虹现象仍是一个被人们深入研究的问题。
　　Ⅱ虹的模型求解及分析
　　虹的基本模型
　　当阳光通过空气射到雨滴时，一部分光线被反射，另一部分光线则通过折射而进入雨滴内部，进入雨滴内部的光线又经过反射和折射，最后再折射回空气中。为此，要了解虹的形成，我们首先来跟踪一下由雨滴引起的反射和折射情形。
　　为此，我们给出三条假设：
　　1.假定天空中的雨滴是一个球体。
　　2.假定太阳对于雨滴来说，在无穷远处，所以，太阳光线是相互平行的。
　　3.太阳光线从空气穿过雨滴的过程中，碰到界面时，反射和折射两种现象同时发生，使的光线强度不断减弱。

图2.2 光通过雨滴的路径

　　因此，照射在雨滴上的光线如图⒉2所示，其中A点为光线的照射点，一部分光线经过A点反射出去，其余光线通过雨滴而折射（а入射角，β是折射角），这时光线折射到B点，在B点光线又经过反射而通过C点，最后在C点折射回到空气中，我们称之为一次反射途径。
　　在这一过程中，我们仅对照射过界面前几次的反射途径感兴趣，因为这种途径的光线是最亮的。在⒉2图中，在点A处反射的光线很亮，但是这束光线对于形成虹的本质特征不起作用，类似地，照射到点 A，然后穿越雨滴从点B出去的光线也相当亮，但是它只能在雨滴的右侧才看的见（虹是当太阳在我们身后而从太阳发出的光来自雨滴出以各种方式反射回来时形成的），它不会形成我们所见的虹。所以只有图中画的光线是和虹的形成相关的光线。
　　如图2.2所示，A点只要是圆的左侧上方的任何一点，它都将在圆的下半部离开雨滴。我们关心的是，当光线离开雨滴时，方向的折转情况，即光线的折转的角度D(α)。例如，若光线是沿着圆的直径方向进入雨滴的话，则入射角是00，折射角也是00度，最后光线将从雨滴的后面反射出来（沿着进入的那条直径方向）而退出雨滴，从顺时针方向来看，总的折转角应该是1800。由于圆是对称的，所以我们只需注意左上部的四分之一圆上的那些点即可，即对于在A点经折射， 折转了(α-β)，在B点经反射又折转了（1800-2β），最后在C点再折转（α-β），从而有

D(α)= α-β+180-2β=180+2α-4β

由于 sinα/sinβ=k，其中为折射率，因此，cosα= k cosβdβ/dα

令D^’(α)=0,得:

由

           sinβ=sinα/k

可得到： -1+cos α=4 α,即

因为雨滴是水，k=1.33 所以

cosα=0.5063,α=59.6º, D(α)=137.5º
并且

由于 cosα=kcosβdβ/dα

其中β<α，β、α∈[0，90]。

所以 ，故 , 是D(α)的最小值。

　　换言之，当入射角在59.6º左右时，其光线的折转程度几乎相同，均达到最小。而远离这个临界角的光线将发散出去。这就是虹出现的位置，称入射角为59.6º的光线为虹光线，42.5º（=180º～137.5º）为虹角。
　　因此，雨滴在观测者的特定角度下，它将呈现较亮的光线。进一步设想一下，假定观测者处于顶角为两倍虹角的圆锥顶点处，这时用垂直于轴的平面去截圆锥，将得到一个圆形的截面。每个锥表面上的雨滴都构成虹角，于是观测者就看到了天空中一条明亮的圆弧，这就是虹。需要注意的是，虹出现的高度依赖于太阳出现的高度。对于地面上的观测者来说，虹最多是圆的一半，只是对空中飞行的观测者来说，虹才可能是一个完整的圆。
    　(2)虹的颜色
    　刚才考虑了光的几何性质，实际上，光线还是一种电磁波，它具有连续的波长光谱，波长在6470Å～7000Å(1Å=10^-10米)之间看到的是红色，波长4000Å～4240Å之间，看到的是紫色，其他颜色的波长介于这二者之间，并且水的折射率也依赖于所通过的光的颜色，红光的折射率为1.3318，紫光的折射率为1.3435。
　　针对不同颜色的光，我们来重复计算最小转折角，红光的最小转折角为137.7º，紫光的最小转折角为1.3435º。相应的虹角分别为42.3º和40.6º，也就是说，观测者在观看天空中彩虹时，将看到一段红光圆弧略高于紫光圆弧，混有不同波长的阳光照射到雨滴上，将折射成各种不同颜色的圆弧，依次顺序是：赤、橙、黄、绿、兰、靛、紫，这时，红光和紫光的虹角差只有1.7º。物理学家牛顿是第一个通过精确计算解释虹颜色的人，并且他更正了“平行光线”的假设，允许0.5º作为太阳直径的偏差，于是就得到虹的宽度为2.2º的结论，与实际观察的结果非常一致。
   　（3）二次虹

图2.3 光线在雨滴内部的二次反射

　　大家可能还记得虹光线是由雨滴后侧反射出来的，对于其他的光线，它可能在雨滴内反射若干此，每次反射都减弱了光线的强度，图.3给除了光线在雨滴内部的二次反射情形。
　　其中A点为光线的照射点，B、C点为光线在雨滴内部的反射点，D为光线最终退出雨滴的点。同前所述，整个过程的转折角（按逆时针方向）为：

　　　D₁(α)=α-β+180º-2β+180º-2β+α-β=360º+2α-6β

为了和一次内部的反射的光线作比较

　　　D2(α)=6β-2α由D2＇(α)=0 可以得到：

并且D₂＂=6d²β/dα²<0这表明 将是D₂(α)的最大值。

　　当ｋ=1.33时，α₀＝71.94º时，D₂(α₀)＝129.9º。因此，对于2次内部反射的光线来讲，其最大的转折角是130º。换言之，偏离观测者大约50度的雨滴将显得更加亮些，当然，它不如42º时那样亮，二次虹是比一次红暗的另一段虹，进一步进行比较，将会发现，红光的最大折转角略大于紫光的最大折转角：所以二次虹中颜色就显出与一次虹相反的颜色顺序，称经过一次内部反射而显示出来虹为主虹，经过二次内部反射而显示出来的虹为副虹，由三次以上的内部反射形成了高次虹将非常弱而且罕见。

    关于虹极其相似现象的理解及其解释，还必须依赖于衍射理论，有兴趣的读者请自行参阅有关书籍。

　　到此，需要指出的是：组建物理现象的数学模型与通常所说的物理计算题是不同的，更与数学问题不同。其一，物理计算题的叙述是严谨的、明确的，通常它的答案是唯一的、确定的，而描述这个问题的模型和答案通常是不是唯一的。对于同一个现象可有不同的模型来描述它，从而得到不同的答案，这些答案不会是只有一个是对的而其他都是错误的，尽管其中的某些在使用时较之其它的可能要好些。其二，一般来说物理计算题的假设条件是解题过程中的自然需要或是研究范围的一个严格界定，但对物理数学模型来说，假设则是建模者在建模过程中用来明确和简化实际问题的一个主要的手段，操作起来要灵活得多而且有较高的技巧。其三，物理计算题的分析求解过程有赖于必需的物理知识和恰当的数学工具与技巧的使用，而数学模型的组建则更多地依赖于对实际问题的理解以及以一定的创造性和想象力把有关的变量按照实际问题的要求组合在一起。其四，物理计算题的结论是明确的，通常它可以使用封闭的数学表达式来表示，而数学模型可以用数学式，也可以用图、表来表达。数学模型的结论通常不是封闭的，它需要推广以改变研究的方法或者使模型适合复杂的情况、甚至有些模型的结论还悬而未决、有待进一步探讨的。

　　(三)物理量的量纲分析

　　量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。它主要是利用物理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次法则来确定物理量之间的关系。所谓量纲齐次法则是指作为一个数学模型和物理规律，其数学表达式的每一个的加项的量纲必须是一致或者每一项都是无量纲量。也就是说，当描述实际现象时，只有量纲相同的相才有可能相比较和相加减，其理不言而明。通过量纲分析可检查计算结果有无错误甚至还可提供寻找复杂规律的一些线索。

　　量纲分析的理论基础是“π定理”,这一定理是Buckingham在1914年提出的：
　　设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常数)P1,P2,……Pn , 有m个基本量（n>m），则由此可组成n-m个无量纲的量，在物理量P1,P2,……Pn 之间存在的函数关系式

　　　　　　　　f(P1,P2,……Pn)=0　　　　　(2.4)

　　可表达城乡相应的无量纲形式

　　　　　　　　F(π1, π2,Λπn-m)=0　　　(2.5)

(在m=n的情况下，有两种可能，若P1,P2,……Pn 的量纲必须是独立，则不能由他们组成无量纲的量；若不独立，则还可能组成无量纲的量。)

　　关于这个定理的证明，可参见《定性与半定量物理》一书有关论述，在这一本书中有详细的证明，又富有许多精彩的例子。我们仅取建模描述单摆的运动周期为例。
　　[案例15] 　　　　　　　　　返回

　　众所周知，单摆运动是指用细线悬小球离开其平衡位置后在重力作用下所作的平面往复运动。为简化问题的讨论我们假设：
　　1.小球运动过程中不考虑空气的阻力。2.忽略地球自转对单摆的影响。3.摆线在单摆运动过程中不发生形变。4.摆轴部分没有摩擦。

　　在上述假设中可知：与单摆有关的物理量有运动周期t，摆线长l，摆球质量m，重力加速度的g和单摆的振幅θ。

　　这些物理量的量纲分别为[t]=T,[l]=L,[m]=M,[g]=LT^-2 ,[θ]=l。

　　单摆的运动规律与上列的物理量有关，这个规律可由下面的式子给出。

　　　　　f(ｔ，ｌ，ｍ，ｇ，θ)=0　　　　　　　　(2.6)
　　

因此，函数的各个加项一定有形式π＝ 。因为方程的右端是无量纲的量，式中出现的π一定是无量纲的，

可得［π］＝ ，式中的a₁、a₂、a₃、a₄将满足下面的线性方程组

　　　　　　　
　　由于这个问题中，只有三个基本量T，L，M，所以由π定理，可组成2（=5-3）个无量纲的量π1，π2。

　　考虑到a₅的任意性，对上述线性方程组，根据线性方程组理论，取（a₄,a₅）=(1,0)和=（0，1）和（a₄,a₅）=(0,1)分别为解空间的基底，则可得到方程组的基础解系为（2，-1，0，1，0）和（0，0，0，0，1），于是π₁=t²g/l,π₂=θ因此，这个规律可以写成这两个无量纲的一个函数 ：

F(π₁,π₂)=0

利用数学分析的隐函数存在定理，就可以确定单白周期的数学模型是