（四）整数计数：

    教法点拨 : 整数计数，也就是计算某一个或若干个自然数中数字的个数或某个数字出现多少次 . 它也被人们称为 " 页码问题 " 。

    在某个范围内，数出满足一定条件的自然数的个数；在一个数段中，每个数字出现的次数；数出若干个连续自然数之积的尾部有多少个连续的零等问题都属于计数问题。

    例 1 从 1849 到 4918 共有多少个自然数？

    分析：如果把 1 到 4918 的自然数看作一个整体，那么可以把这个整体分成 1 到 1848 与 1849 到 4918 两个部分．由于从 1 到 4918 有 4918 个自然数，从 1 到 1848 有 1848 个自然数，所以从 1849 到 4918 的自然数等于 4918 减去 1848 。

　　由此题可以得出这样结论：设 m 、 n 是两个自然数，并且 m ＜ n ，那么从 m 到 n 的自然数的个数为： n-m+1 ．

    例 2 从 1 到 1947 的自然数中，能被 5 整除的数有多少个？

    分析：从 1 到 1947 的自然数中，能被 5 整除的数有： 5 × 1 ， 5 × 2 ， 5 × 3 ，…，由于 1947=5 × 389+2 ，所以从 1 到 1947 的自然数中，最大一个能被 5 整除的自然数是 5 × 389 ，这样得出 1 到 1947 的自然数中能被 5 整除的自然数的个数．

    例 3 在 1 到 1000 这一千个自然数中，总共有多少个数字 1 ．

    分析：解这类问题可以采用分段的方法去数，首先先看 1 到 99 ，将这 99 个数分成 10 段：

    1 ～ 9 ， 10 ～ 19 ， 20 ～ 29 ， 30 ～ 39 ， 40 ～ 49 ， 50 ～ 59 ， 60 ～ 69 ， 70 ～ 79 ， 80 ～ 89 ， 90 ～ 99 ．

　　上面每一段中除了 10 ～ 19 这一段数字， 1 出现了 11 次，其余每一段数字 1 只出现了 1 次，所以 1 到 99 共出现数字 1 的次数为 11+1 × 9=20 （次）．同样方法可以数出 200 ～ 299 ， 300 ～ 399 ， 400 ～ 499 ， 500 ～ 599 ， 600 ～ 699 ， 700 ～ 799 ， 800 ～ 899 ， 900 ～ 999 出现数字 1 的次数也是 20 次，而 100 ～ 199 的自然数中，每个数的百位都是 1 ，所以数字 1 出现了 100+20=120 （次）．

    例 4 从 1 到 1996 的自然数中，出现的所有数字的和是多少？

    分析：为了求出所有数字的和，关键先求出每个数字出现的次数，很容易算出 1 到 9 这九个数字在 0 到 999 的所有自然数中出现的次数均为：

    20 × 9+120=300 （次）

　　而 1000 ～ 1996 与 0 ～ 999 的区别在于每个数的千位都多了一个数字 1 ，数字 2 ～ 9 出现的次数没有变化，所以在 1000 ～ 1999 的自然数中，数字 1 出现了：

    1000+300=1300 （次）

　　数字 2 ～ 9 分别出现了 300 次．又因为 1997 ， 1998 ， 1999 共出现了 3 个 1 ， 7 个 9 ， 1 个 7 ， 1 个 8 ．由此可以求出 1 到 1996 所有数字的和．

    （ 1+2+3+4+5+6+7+8+9 ）× 300+1 × 1300+ （ 2+3+4+5+6+7+8+9 ）× 300- （ 1 × 3+9 × 7+7 × 1+8 × 1 ）

    =45 × 600+1000-81

    =27919

　　另解：本题还可以采用分组的方法：将 0 到 1999 这 2000 个自然数分成 1000 组：（ 0 ， 1999 ），（ 1 ， 1998 ），（ 2 ， 1997 ），（ 3 ， 1996 ），…，（ 997 ， 1002 ），（ 998 ， 1001 ），（ 999 ， 1000 ）．分组时注意，每组两数的各数位之和没有进位．这时每组的两个数的数字之和为：

    1+9 × 3=28 ．

　　所以 1 到 1996 的自然数中，出现的所有数字的和是：

    28 × 1000- （ 1 × 3+9 × 7+7 × 1+8 × 1 ）

    =28000-81

    =27919 ．