一、数学的特点及其与现代科学技术的关系
（一）数学的特点
数学是“研究现实世界的形式和数量关系的科学”。事实上，除了空间形式和数量关系之外，数学还研究其他的形式和关系，其中包括像数理逻辑这种推理逻辑形式，还有n维空间几何学等等。一般来说，现实世界的任何形式和关系都可以成为数学研究的对象，只要它们在客观上与内容无关，能够完全舍弃内容，并且还可以用清晰准确，保持着丰富的联系的概念来反映它们，使之为理论的纯逻辑发展提供基础。数学不仅研究直接从现实中抽象出来的形式和关系，而且还研究在已知的形式和关系的基础上定义出来的，在逻辑上，各种可能的形式关系，如“虚数”、“非欧几何”等等。现代数学中定义一些数学对象已是很平常的事，而对新对象的解释，其中很大一部分已无法分为现实的或只是逻辑上可能的。因此，可以说，数学是关于与内容相脱离的形式和关系的科学。也正由于这样，决定了数学的一些独特特点 ：
⒈思维的抽象性
抽象是具体的对立面，是被人们从对象的全部联系，全部关系中抽去出来、孤立出来的东西。由于形式被舍弃了，而内容作为独立的对象在数学中出现，这就使数学的直接对象是一些数，而不是对象的堆积，是一些几何图形，而不是现实的物体等等。如自然界存在的是各种球形物体，但是球形就其本身而言，已转变成具体对象——几何球。社会和自然界中存在的是各种变量的多种对应关系，而这种联系的纯形式，在数学上是作为理想对象——函数而出现的。虽然其它科学也存在抽象性和理想性，但它们始终离不开现实，没有赋予它们独立自在的意义，而数学的抽象是无条件的，它的定义一旦产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题。
⒉推理的严谨性
数学的抽象性使形式逻辑在数学理论整理加工过程中有着特殊的作用，使数学成为一门有严谨逻辑系统的科学。在这里，数学的结果——定理是通过逻辑推理由基本概念和前提得到的，援引经验并不是数学论证（数学计算只不过是以符号形式集中起来的逻辑推理）。因此，数学的论断就具有确定不变性。当然，论断之所以是必然的，是由于依据了它的基础。从这点来看，数学的论断具有相对性。总之，数学的结果是通过逻辑推理的方法，从相应的概念自身中得到的，所以纯数学具有纯演绎、思辩的特点。
⒊应用的广泛性
数学的理论往往具有非常抽象的形式，但它也是现实世界空间形式和数量关系的深刻反映，因此可以并且已经被广泛的应用到自然科学、社会科学和技术的各个部门，对科学技术的发展产生了很多重大的影响。数学之所以能广泛应用，有两个方面的原因。第一，量及其关系是各种物质运动形态所具有的共同方面，任何物质都是质和量的统一。根据质和量的统一规律的理论，我们原则上可以无例外地通过对于事物的量的规定性来认识事物的质的规定性，而且也只有通过对于事物的量的规定性来认识事物，才能精确的认识事物的规律。因此一切科学研究在原则上都可以用数学来解决有关问题。第二，数学作为量的结构的科学，其应用的广泛性还决定于异质同构现象的存在，就是说，在不同的内容，不同质的事物和系统中存在着同样的数量关系，同样的数学结构，遵循着同样的数量公式所描述的规律。比如，同一个方程，弹性力学上是描述振动的，流体力学上却是描写流体动态，声学家可称它是声学方程，电学家可称它是电报方程，而数学家却认为它是双曲型偏微分方程。又如，重力、温度、电磁、气压这些都是不同的东西，但是在空间分布上有着同样的数量规律，有着同样的数学结构，在数学上就有统一的形式去概括，这就是数学上场论研究的内容。正是由于自然界这种统一性的客观存在，使我们可以从不同的物质形态中，从不同的物质运动过程中，从不同系统中抽象概括出共同的数量关系、数学结构，也是我们对于某一事物、系统中的数量关系、数学结构的理论可以应用于同构而不同质的其他事物、状态、过程中去，而数学上的全部概念、公式、方程都是客观世界中存在的异质同构的反映和描述。
数学在自然科学和技术领域中的广泛应用已经众所周知。现代科学的发展，就是同数学方法的应用和发展紧密联系的，科学数学化成了现代科学发展的一个重要特点。马克思说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”现在，甚至在人文科学方面，用数学语言表达的概念体系，以近占领或不断取得主导地位，并且与电子计算机技术紧密结合，在研究过程中建立起与研究对象相应的数学模型，再把这些数学模型编制成形式化的信息符号系统输入电子计算机处理，取得了丰硕的成果。运筹学在各门社会科学中正在显示它的作用，应用一定的数学方法来研究经济计划的制定现代化企业的管理、人口发展规律、产品质量控制、城市交通管理等等，都收到了显著的效果，并且产生了一类同数学结合起来的社会科学分支，如数学经济学、数理社会学、金融数学、数理语言学等等。现在，马克思所期望的用数学方法来研究经济问题、研究社会问题的目标正在越来越成为现实。
（二）数学与其他自然科学的关系
数学在研究自然界、社会以及思维领域中的形式和关系时，舍弃了内容，而且在论证中不容许借助观察和实验，但数学和其他自然科学一样，是从实践中萌芽而生的，又经过漫长的知识积累，经过阐明概念和论断之间的联系，才能转化为数学科学。数学科学一方面沿着紧密联系自然科学的道路不断发展，另一方面又不断地从根本上扩展它的对象，上升到更高度抽象的阶段。在于其它自然科学的紧密联系中，所扮演的角色是：
1.数学是科学研究的工具
数学本身不是目的，而是一种工具和手段。这种特点，应用数学当 然表现的非常具体和清楚，因为应用数学的目的就是寻找、设计、解决各种具体科学课题的数学工 具，就是为了给某一具体科学提供适当而有效的数学方法。纯粹数学并不直接和清楚地显示这个特点，它是数学科学大厦中更为基本的部分，提供的是纯粹的量最本质的、最基本的规律。但是可以说应用数学和纯粹数学的差别只在于短期的，可以预料得到应用与长 期的意想不到的应用之间的差别，但过了60年，即在1925年就被用作描述原子系统矩阵力学的基本数学工具，意大利几何学家在19世纪70年代创立的张量计算，过了30年被爱因斯坦用于广义相对论，成为广义相对论的基本数学工具。19世纪高斯研究的数论，在20世纪的密码学中大显神威。1931年，奥地利数学家哥德尔提出著名的不完备性定理，认为数学家希尔伯特所主张的通过逐步构造过程证明经典数学系统相容性的证明是不可能，这可以说是纯粹而又纯粹的定理了。但是数学家图灵发现了哥德尔分析过程所得到的结果同一般机器上计算的记过是一样的，后来又经过数学家冯．诺依曼等的努力，就开始了数学计算机的理论设想和分析，1945年造出了世界上第一台电子计算 机。就是现在已经用的很普遍的CT扫描，其理论基础实际上就是数学中的拉东（Randon）变换。拉东变换是本世纪初出现的一种积分变换，但是人们从来没有想到这样一个积分变换后来会在实际中应用。许多人对纯粹数学在应用方面的巨大成功认为“不可思议”。可以说，随着数学和可以发展的势头增大，纯粹数学得到应用的速度会越 快。而当代数学理论研究，搞的最活跃最富成果的那些领域，往往也就是与各门科学的今后发展联系最为明显而潜在意义最重大的那些领域。
数学作为科学研究的工具，其作用和意义主要表现在以下几个方面： 首先，数学是科学抽象的工具。我们知道现实对象都是复杂的、具体的，是质和量，现实和本质，必然和偶然的统一体，这样的现实对象如果不经过科学抽象，在思想就无法把握，而数学把量及其关系从现实对象中抽取出来，就摆脱了现实对象的各种具体的复杂形态，大大简化了研究对象，再这个简化过程中，可以排除那些次要的非本质的因素和过程，从而是我们可以在纯粹的形态上，纯粹的量的关系上来研究对象，揭示对象的本质关系和过程。
数学作为科学抽象的工具，在科学史上可以找到无数的事实。有些问题长期得不到解决，可是由于找到了一种研究这个问题的数学方法，从而使问题获得了解决；有的问题从质的分析上长期踏步不前，可是由于撇开了质的表现而从量上着手而出现了大踏步的前进。伽利略研究落体运动时，改变亚里士多德学派只注重从质的方面研究落体运动，而选择了一组全新的可以测量的概念，从量的角度研究物体运动，发现了自由落体定律。牛顿研究天体运动的时候，也是从数量关系着手的。牛顿对引力不给解释，而只给出一个明显而有用的数量公式，表明引力是怎样作用的。正式依靠了数学的描写，才使的牛顿的惊人贡献成为可能。以后的相对论、量子力学、控制论等等，都是因为有了相应的数学提供了科学抽象的，才成为现代科学发展的里程碑。现代科学总是伴随着数学的发展而前进，这一特点就十分深刻的说明了数学作为科学抽象工具的巨大作用。
2.数学是计算的工具
人类社会的生存和发展离不开计算。数学就是随着人类实践活动中对计算的需要而发展的。计算对于科学研究的意义在近代科学发展中显示着越来越来重要的作用。计算使各门科学从实验中获得大量的数据，形成各种精确的“物理量”，形成具有确切数量界限的基本概念。而可靠的数据、精确的具有数量界限的基本概念是进行数量分析和科学推倒的前提条件。一门科学从定性的描述到定量的分析，是这门科学达到比较成熟阶段的重要标志，而一个方面就在于它是计算工具。生物遗传学中的基因理论就是因为从两两具有不同性状的个体杂交实验中获得了大量实验数据，并且进行数理统计分析才提出的，爱因斯坦在狭义相对论中用数学方法获得质能公式预示了原子核裂变和聚变发出的巨大能量。现代计算机技术的迅速发展，使像原子反应堆、高能加速器、宇宙飞行、生物遗传基因密码破译等等需要周密、精确的数值计算和理论分析的现代尖端科学技术发展的日新月异。在电视技术中，1990年以前，日本是电视技术大国。为研制高清晰度电视的制式，日本和西欧国家在模拟制式上投入了数十亿美圆。但是，1993年，美国的数字电视方案出世后，立即“横扫千军”，使“模拟式”方案变成一张废纸。支持数字化的是一种数学技术——小波技术，它能将庞大的数据压缩到最低限度，使得图象的传输成为可能。这样，21世纪世界电视业的领导权也就落入美国手中。所以，现在有人甚至认为，高技术就是数学技术。
3.数学是从量的角度描述客观规律的工具
数学的抽象表面上看起来远离了物质世界，远离了各种物质运动的具体的质的形式和特点，但是这种抽象只要不是任意的、主观的，就更深刻地反映和揭示着客观规律。数学上的点、线，在不同的系统中代表不同的对象，不同的运动轨迹、数在数学上描述了自变量与因变量的相互依赖关系，而这种依赖关系可以用来刻画各种系统中不同的因素、不同的作用量在数量变化中的相互制约关系。导数和微分表示着各种量变化过程的变化率，表示着量变过程的瞬时状态。这样，我们就可以用数学量来代表各种作用量，用数学量之间的关系来刻画作用量之间的关系，用数学量及其关系组成的方程来描述客观世界的各种关系、各种规律。客观对象的静态结构、空间关系、动态变化、时间过程、运动过程和运动结果等等，都可以用数学描述。现代人们还用研究拓扑学与微分方程渐进性质而得到的庞加莱——班狄克生理论来描述伺服机构及控制过程，用近代概率论分析力学的统计性态，用多复变函数论计算量子场论里的弗曼（Feynman）积分，用非线性偏微分方程从理论上描述非线性的弥散波动现象。由法国数学家托姆提出的突变理论，成为描述生物学和经济学模型的数学工具。
用数学家来描述、刻画客观规律，具有符号形式化、精确数量化、概括公式化的特点和优点。这些特点和优点使我们从特殊规律中概括出一般规律，或者从一般规律中演绎特殊和个别规律，都变成了一种数学公式和方程的演算过程。这就大大简化、加速了思维过程，并且能极大地提高预见能力，比如1928年，当时只有27岁的英国青年物理学家狄拉克将相对论力学方法应用到量子理论中，提出了相对论形式的薛定谔基本方程，称为狄拉克方程：
（Pcα+mc2β）φ=Eφ (2.1)
在求解自由电子的狄拉克方程时，发现这个方程的解有奇特的性质，即既有一组正能解，还有一组负能解。第一组解所描述的是电子的能态，第二组解所描述的负能态应该是和某种带正电点的粒子是相对应的。狄拉克把这种状态称为“空穴”，并且设想这“空穴”就是带正电的质子（当时只知道带正电的粒子是质子，此外没有别的粒子是带正电的）。后来，德国物理学家J?奥本海默经计算指出，狄拉克所预言的这种带正电的粒子，其质量与电子相同，它不应该是质子。于是，从狄拉克方程的负能态解正式预言了正电子的存在，它是电子的反粒子，但“负能现象”和“反粒子”理论，当时很多同行不能接受，因而流传了许多半羡慕半嘲弄的故事。直到1932年秋，美国物理学家.D安德逊从研究宇宙射线的云层照片首次发现了正电子，狄拉克的预言得到了证实。他的理论标志着反粒子和反物质研究的开始，对以后的物理学产生了极大的影响。正如杨振宁教授在2001年4月庆祝清华大学建校九十周年的学术演讲会上对狄拉克方程的评价：“这个简单的方程式是惊天动地的成就，是划时代的里程碑：它对原子结构及分子结构都给予了新的层面和新的极正确的理解，没有这个方程，就没有今天的原子、分子物理学和化学。”
数学固然为其他自然科学提供了卓有成效的服务，但是社会实践始终是数学发展的源泉。社会实践在数学的发展中起了决定性的作用，社会实践向数学提出了新问题，刺激数学朝某各个方向发展，为数学提供检验结论真理的标准，扩充新的数学应用领域、形成新的数学分支和分支的分支。比如本世纪49年代，正当机械论思潮兴盛之时，奥地利理论物理学家薛定谔做了题为《生命是什么？》的报告，示范性地提供了边缘性综合问题的研究方法，提出量子化学在遗传机制研究中的意义，提出怎样从熵的概念出发建立生物数学。从此，一批批物理学家、化学家转向研究生命科学，使生物学和物理学和化学日益结合起来。由于数学家的加盟，生物数学也得到蓬勃发展，现在被认为是一个很有生命力的数学分支。又如著名的杨——米尔斯规范场理论方程，就是物理学家杨振宁和米尔斯于1954年提出来的。原来的出发点完全是为解决粒子物理方面的问题。但现在它对数学的很多分支，如微分几何、低维拓扑、偏微分方程、变分学，以至于无穷维的群表示论等，都产生了很大的影响。
由此可见，数学与其他自然科学是伙伴关系。
（三）面向计算机的数学
电子计算机的发明是20世纪最重大的科技成果之一，它对人类社会产生的深远影响常被称为“第三次技术革命”。然而，从本质上讲，由计算机引发的这场革命与数学密切相关。一方面，计算机的发明及其日常应用所依据的思想都来自数学。20世纪30年代，歌德尔提出了一般递归函数的概念，后来把可计算的函数归结为一般递归函数，而且可计算函数的计算也就可以归结为图灵理想计算机的计算了。图灵计算是按某种规则将一组数值或符号串转换成另一种数值或符号串的操作过程。符号处理学说有力地推动了人工智能的发展。可以说，如果没有哥德尔、图灵等人在数理逻辑方面的基本研究，就不会有现代的程序储存计算机。而计算机的设计、制造、改进与使用中产生的大量问题也想数学理论研究提出了新的课题。另一方面，计算机不仅极大的扩展了数学的应用范围和能力，而且还通过其特有的高速计算，数值模拟与图象显示等功能，日益成为数学研究本身的崭新工具。
与计算机直接相关的数学领域主要有数值分析、理论计算机科学，以及机械化数学。机械化数学研究如何利用计算机来实现数学定理的自动证明，它由我国著名数学家，国家最高科学技术奖获得者吴文俊教授倡导并作出了开创性贡献。吴教授率先提出了关于数学定理“吴文俊原理”之后，大量相当困难的数学定理的自动证明才第一次在计算机上得以实现。目前，机械化数学的理论研究已从开始的初等几何的机器证明扩展到包刮代数几何、微分几何、代数学、复分析、微分动力系统、偏微分方程等许多纯数学分支。
